Anagrama de jmp

Trigonometría básica para programación CNC:

    En programación CNC en muchas ocasiones nos vemos en la necesidad de calcular la situación de determinados puntos que por el motivo que sea vienen indicados en el plano sin que quede claro cuales son sus cotas en los ejes "X", "Y", "Z".

    En el capítulo dedicado al teorema de Pitágoras se muestra uno de los métodos válidos para poder calcularlos.    Sin embargo en muchas ocasiones no tenemos los datos necesarios para poder aplicar dicho teorema.

    En éste capítulo vamos a conocer otra de las formas válidas para ello:   la trigonometría.

    La trigonometría es una rama de las matemáticas que se dedica al estudio de la relación entre los lados y ángulos del triángulo rectángulo y una circunferencia cuyo radio coincida con la hipotenusa del triángulo, tiene diversas aplicaciones en geometría, como por ejemplo medición de distancia a estrellas, navegación global por satélite (GPS), etc.

    En nuestro caso veremos lo mas básico y suficiente para poder desenvolvernos con soltura en los sistemas de coordenadas cartesianas, que son los que empleamos.

    También nos ayudará a convertir cotas polares en cotas absolutas y viceversa, que en el caso de programación CNC puede ser muy interesante.

Razones trigonométricas. Imagen de un triángulo rectángulo y sus razones trigonométricas, seno, coseno, tangente. a α b r P1

   Razones trigonométricas:

    - Seno, cuya abreviatura es "Sin" es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa del triangulo.
    En este caso sería     Sin α = a / r .

    - Coseno, cuya abreviatura es "Cos" es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa del triángulo.
    En este caso sería     Cos α = b / r .

    - Tangente, cuya abreviatura es "Tg" es la razón entre el cateto opuesto y el cateto contiguo al ángulo.
    En este caso sería     Tg α = a / b .

    Despejando de las ecuaciones anteriores se deduce que la tangente también se puede expresar como la razón entre el seno y el coseno.
    En este caso sería     Tg α = Sin α / Cos α .

    La tangente expresada en tanto por ciento es en realidad la pendiente de la hipotenusa o pendiente de una recta.

    Existen otras razones trigonométricas que aquí no vamos a mencionar pues no se trata de hacer un estudio exhaustivo, si no de adquirir los conocimientos que nos van a ser útiles en nuestro caso.

    Así por ejemplo conociendo la longitud de "r", que es el radio de la circunferencia y el ángulo "α" expresado en grados, podemos calcular las cotas del punto "P1" en éste sistema de coordenadas, siendo:

    - Abscisa o cota en el eje X es el producto de multiplicar "r" por el Coseno de "α"
       Cota X = r * Cos α

    - Ordenada o cota en el eje Y es el producto de multiplicar "r" por el Seno de "α"
       Cota Y = r * Sin α

    Los Senos, Cosenos y Tangentes se pueden obtener de las tablas correspondientes o también directamente desde la calculadora.

    Del mismo modo conociendo el Seno, el Coseno o la Tangente de un ángulo podemos consultar en dichas tablas cual es la amplitud de dicho ángulo.

    En dos ángulos complementarios, es decir que entre los dos suman 90º, el Seno de uno es igual que el Coseno del otro y viceversa.

Triángulos rectángulos en los diferentes cuadrantes. Imagen de triángulos rectángulos en los diferentes cuadrantes para ver si sus razones trigonométricas son positivas o negativas. a b r a -b r -a -b r -a b r P1 P2 P3 P4

    Ahora vamos a analizar qué ocurre cuando el ángulo se encuentra en los diferentes cuadrantes del sistema de coordenadas cuyo origen coincide con el centro de la circunferencia :

    P1 se encuentra en el primer cuadrante del sistema de coordenadas y tanto "a" como "b" tienen valor positivo luego :
    El Cos α tiene valor positivo .
    El Sin α tiene valor positivo .

    P2 se encuentra en el segundo cuadrante del sistema de coordenadas y "a" tiene valor positivo mientras que "b" tiene valor negativo luego :
    El Cos α tiene valor negativo .
    El Sin α tiene valor positivo .

    P3 se encuentra en el tercer cuadrante del sistema de coordenadas y tanto "a" como "b" tienen valor negativo luego :
    El Cos α tiene valor negativo .
    El Sin α tiene valor negativo .

    P4 se encuentra en el cuarto cuadrante del sistema de coordenadas y "a" tiene valor negativo mientras que "b" tiene valor positivo luego :
    El Cos α tiene valor positivo .
    El Sin α tiene valor negativo .

    A pesar de que los valores puedan ser positivos o negativos en función del cuadrante en el que esté el triángulo, los valores absolutos de los Senos y Cosenos no varían, sólo dependen del valor del ángulo.

    Los valores de los Senos van desde 0 para 0º hasta 1 para 90º.

    Los valores de los Cosenos van desde 1 para 0º hasta 0 para 90º.


Teorema del Coseno :

    El teorema de Pitágoras determina la relación existente entre los lados de un triángulo rectángulo, y dado que el coseno del ángulo de 90º es igual a 0, queda simplificado en este caso.

    El teorema del Coseno es la generalización del teorema de Pitágoras que sirve para cualquier tipo de triángulo, rectángulo o no, por eso también se llama Teorema de Pitágoras generalizado.

    No vamos a estudiar aquí sus fundamentos ni a justificar su obtención, si no que simplemente lo enunciaremos para poder utilizarlo cuando convenga... ya que sabemos que funciona.

Teorema del coseno. Imagen de un triángulo con sus lados y ángulos para explicar el teorema del coseno. b c a α β φ

    El Teorema del Coseno nos demuestra que en todo triángulo se cumple que el cuadrado de la longitud de un lado del triángulo es igual a la suma los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados restando el doble del producto de multiplicar las longitudes de estos dos lados por el coseno del ángulo que forman.

    Así :

       a² = b² + c² - 2bc . Cos α
       a = √ ( b² + c² - 2bc . Cos α )

       b² = a² + c² - 2ac . Cos β
       b = √ ( a² + c² - 2ac . Cos β )

       c² = a² + b² - 2ab . Cos φ
       c = √ ( a² + b² - 2ab . Cos φ )

    Observar que si el triángulo es rectángulo como el ángulo de noventa grados tiene por coseno 0, todo el producto de multiplicar el doble de los catetos por el coseno del ángulo que forman también es 0.

    Bien... deduciendo de estas fórmulas podemos calcular los ángulos de un triángulo conociendo la longitud de sus tres lados :

       α = Arc Cos ( b² + c² - a² ) / 2bc
       β = Arc Cos ( a² + c² - b² ) / 2ac
       φ =Arc Cos ( a² + b² - c² ) / 2ab

    Siendo Arc Cos el arco cuyo coseno coincida con el resultado de las operaciones correspondientes en cada caso .






   NOTA.-

    Esperando que esta información sea de tu interés y agrado, te animamos a que continúes pues la constancia en el propósito del logro es la verdadera clave del conocimiento.

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